求证a^2+b^2+c^2大于等于ab+bc+ac

简单的均值不等式题
a^2 + b^2 >= 2*a*b
b^2 + c^2 >= 2*b*c
c^2 + a^2 >= 2*c*a
上三式相加除以2即得

第二问显然a=b=c=1/3结论最大 为3* 1/9 = 1/3

用逆推法
如果a^2+b^2+c^2大于等于ab+bc+ac成立
则,两边同时乘以2
2a^2+2b^2+2c^2大于等于2ab+2bc+2ac
2a^2+2b^2+2c^2-(2ab+2bc+2ac)大于等于0
a^2+b^2-2ab+b^2+c^2-2bc+a^2+c^2-2ac大于等于0
(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2大于等于0
也应成立
而(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2大于等于0是真命题
所以原命题也是真命题
(注,上述推理过程是等价的,用等价符号链接)